問題演習、ポイントにいくつ気づけるか❓
問題演習（練習）をやっている
生徒さんたちの姿を見ていると、
「気がついているのかな❓」と
思えてしまうことがよくあります。
気がつくこと、とは、
この問題についての大事なポイントに
ついてのことです。
そのポイントというのは、
大きく２つあると思います。
一つ目は、今やっている単元での
新しい知識や知恵（解法）などです☝
新しく習ったことは、
覚えたてなので、
わからなくて当然なことも
多いわけで、
そこは、「ポイント☝」となるべき
ところです。
そして、もう１点、
それは、他人ではなく自分にとっての
大事なポイントということです。
自分が知らなかったことは、
その問題演習を通して、
覚える必要があります。
その覚えるべき大事なポイントについて
「気づけているか❓」
おかしな話ですが、
この自分にとっての大事なはずである
ポイントに
気づけていない生徒さんは、
実は、とっても多いものです。
それだと、
せっかく解いた問題も、
十分に活かされたものには
なっていないことになります。
それは効率の悪い問題演習です。
効率の悪い問題演習を
やっていては、
なかなか成績は
まともには上がってきませんね。
それでは、
その問題演習から学ぶべき
「ポイント」についての１例を
示しましたので、
いっしょに
みていきましょうね💁♂️
👆上の問題は、
中３の平方根の問題ですが、
福岡大付属高の問題で、
なかなかの難問です(;'∀')
県立高校の入試問題の域より、
やや上を行っているレベルです。
さて、こんな難しい問題から
学ぶべき点が
あるんだろうか❓
そう考えてしまうかもしれません。
「平均点よりやや上くらいの
レベルでは、
やってもしょうがない問題。」
😞
って、思ってないですかね。
いえいえ👋👋👋
そんなことは、
ありませんよ。
実は、この問題から、
学ぶべきポイントはいっぱいあります。
さて、
具体的にみていきましょう。
ポイントに気がつけるか❓❓❓
数学の学習のポイントとは❓❓❓
ただ問題を解けばいいって
ものではないことは、
お分かりだと思います。
問題を解いていれば
成績が上がる❓
点数が伸びる❓
そんなはずありませんね。
すでにお話していますが、
同じ１問を解いても
出てくる結果は人によって
ぜんぜんちがうんだよね👋👋👋
それでは、うまくやってる人は
どんな学習をしているんで
しょうか❓
それは、問題を解きながら、
どこが大事なのかを
自分でチェックしている、
そして、それらを自分の今後の
ための知恵として
蓄積をしているんですね。
それを意識的にやろうねっ、
っていうお話でした。
それでは、実際に
問題を解きながら、
その「ポイント☝」についての
説明をしていきたいと思います。
【問題】
√ｎ²＋５５（ルートｎ²＋５５）が
自然数となるような、
自然数ｎはどんな数字か❓
では、解説をしていきますよ。
上のシート中の青で書かれたところは、
黒で解説したところの補足です。
この解説の補足で書いた部分が
大事なポイントになるところです。
特にポイントとなるところを※で
しています。
このポイントは、
すでにわかっていることなら、
特に気にすることもないんですが、
知らなければ、自分にとっての
大事なポイントとなるところです☝
さて、
まずは、自然数の意味がわからない、
という生徒さんが
意外とたくさんいてびっくり😲
これでは、
問題の意味がわからないので
問題が解けません😞
問題を解く前から「撃沈確定」です🤦♀️
自然数とは、
１、２、３、４、・・・・
というように、
正（プラス）の整数のことで、
自然に数えられる数のことを
言います。
１個、２個、３個と自然に
数えられる数字です。
そう覚えておけば、
覚えやすいと思いますよ。
ちなみに０個とは数えないですよね。
「そこに０個の〇〇があります。」
とは、言わないですよね。
これは不自然だから、
０は自然数じゃない、
ということになります (笑)
さて、
平方根の√の中は、
〇²の形になっていると、
根号は外れて、
＝〇 となります。
それが、平方根の正体です。
これが、やってるうちに
わかんなくなっちゃう人がいるんですよね。
なので、
根号の中のｎ²＋５５が
ある自然数の２乗の形になって
いれば根号は外れます。
だから、
ｎ²＋５５＝ｍ²
と置くことができますね。
さて、ｎ²＋５５＝ｍ²を
移項して、
ｎ²ーｍ²＝－５５
とします。
ここで、Ａ×Ｂ＝正の整数
の形も持ち込んで、
Ａにあたる式と
Ｂにあたる式を
導き出します☝
（ｎ＋ｍ)(ｎーｍ）＝ー５５
にすると、
右辺がマイナスの数字に
なってしまいます。
ここで※１の部分の「必殺技」を
使います☝
ｎ²ーｍ²＝－５５
の両辺にー１をかけて
（マイナスをかける、でもいいよ）
ｍ²ーｎ²＝５５
の形に変形します。
この方法は因数分解の問題でも
よく使う技法です☝
たとえば、ｙ－ｘは、
マイナスでくくってやると、
ー（ｘーｙ）
となって、ｘ－ｙの形を作って
やることができます。
問題集や参考書には、
この計算の技法までは
解説されてないことが多いので、
自分で、これが技として使える
ことに気がつく必要があります。
これが、みんなによく言っている
「気づき」ってやつです。
どれだけ気づけるか、
そして、その気づきをどれだけ
モノにできるかによって、
数学の得点力は、
ぜんぜん変わったものになってくると
思っています。
なので、
多くの気づきを得て、
テクニックの数々を習得するために
問題演習（練習）っていうのは
必要になってくるんですよね。
ポイントに気づいて、
それを次に使える形に整理して、
それを頭に蓄積させていけば・・・
今日も、この問題を中3の生徒さんに
解いてもらいました。
目的は、ただの問題演習では
ありませんよ。
✋
この問題から、
大事なポイントをいくつも「抽出」して、
自分の技としてため込む
ことを目的とした練習なのです。
ただ問題を解くだけ、
なんて問題演習は、
へたをするとただの時間つぶしにしか
ならないこともある❓
かも、と思っています。
それだけ、大事なポイントを押さえた
学習は大事だってこと。
それでは、
難問ではありますが、
つづきをお話していきます。
先ほどは、
両辺にー１をかけて、
ｎ²ーｍ² ⇒ ｍ²ーｎ²
の形に変える「技」を
お話しました。
分配法則のからんだ因数分解
なんかの問題でも
応用が利きます。
ここが大事で、いつの技を
いろんなところに応用をしていく
ことが、
早く得点力を上げるコツなんですよね。
👍
これができるようになると、
数学の点数はぐんぐん⤴⤴⤴と
上がっていきます。
さて、次のポイントは※２の部分です。
因数分解を利用して
Ａ×Ｂ＝〇
という形に持っていきます。
〇を素因数分解して、
ＡとＢに入る数字の組み合わせを
決めていきます。
これは、基礎レベルではあまり
お見かけしない技です☝
ですが、
これも定番といえるものなので、
覚えておく＝使えるようにしておく
必要があります。
※３の部分について
自然数＋自然数の答えＡは、プラスの数です。
自然数ー自然数の答えＢは、
プラスの場合もマイナスの場合もあります。
Ａ×Ｂ＝プラスの数
という式にあてはまるＡ，Ｂの
組み合わせはプラスとプラスの数しか
ありません。
Ｂがマイナスになると、Ａ×Ｂの
答えは、マイナスになってしまいます。
このような自然数のからんだ問題には、
こんな考え方を使うことがあります。
※４の部分について
関連して、
Ａ×Ｂがプラス×プラスで、Ａ＞Ｂなら、
２つの数をかけて５５になるのは、
①Ａ＝５５、Ｂ＝１ の組み合わせと
②Ａ＝１１、Ｂ＝５ の組み合わせです。
この２つの場合が考えられる
ということです。
そして、①と②の２つの場合が
考えられるということです。
これを「場合分け」と言います。
場合分けは、発展系の問題では
よくあるパターンのやつです。
よく点Ｐが図形の上を動く
問題で、辺ＡＢ上に点Ｐがある場合、
辺ＢＣ上に点Ｐがある場合、
・・・
などと、場合分けが完全に
パターン化している問題もあります。
これ、苦手な人、多いよね （苦笑）
※５について
そして、この場合は、場合分けをした
それぞれの場合の
計算式を作って解きます。
この場合の計算式は
連立方程式になりました。
単純な1次方程式の場合もあれば、
不等式の場合もあります。
いろんなパターンを
経験しておくと有利です。
これまで、この👆の難問に
関するポイント解説をしてきました。
ポイントは、解答解説に書いてある
ところだけでなく、
自分にとっての大事なところ
というものがあるので、
それに、まずは気づけることが大事で、
あぶり出したポイントについては、
次に問題を解くときのために、
ちゃんと整理して、
頭にインプットしておき、
使える準備をすることを
おススメしています。
これは、僕の「必殺技」なんです。
このスキルは、時間がかかるし、
まずはポイントい気づけない人が
多いので、
まずは、そこからの作業になります。
数学も思考との闘い！
🤔💭 🤔💭 🤔💭
塾でも、ポイントに気づけて、
それを整理して、次に使えるような子を
育成していきますよ。
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